Action de groupe - Translation
Définition
Définition d'une action de groupe :
- soit \(G\) un groupe et \(X\) un ensemble
- à tout élément \(g\in G\), on associe la fonction $$\begin{align} G\times X&\longrightarrow X\\ (g,x)&\longmapsto g.x\end{align}$$
- \(1.x=x\) avec \(1\) l'identité
- \(\forall g_1,g_2\in G,\forall x\in X\), $$g_1.(g_2.x)=(g_1.g_2).x$$ (associativité)
$$\Huge\iff$$
- on dit que cette application est une action de groupe
Ensemble
Notation :
On note \(T_G\) l'ensemble des actions de groupes de \(G\)
C'est un groupe
Transitivité
Définition :
On dit que l'action de groupe est transitive s'il n'y a qu'une seule orbite
(
Orbite)
Propriétés
Propriétés de base de l'ensemble des actions de groupes
Propriétés de base de l'ensemble des actions de groupes :
$$\Huge\iff$$
- \(T_G\ne\varnothing\)
- toute action de groupe est une bijection : \(T_G\subseteq S_G\), et on a même \(T_G\leqslant S_G\)
- \(G\simeq T_G\)
(
Permutation)
Exemples
Conjugaison
Exemple :
Si \(H\lt G\), alors \(H\) peut agir sur \(G\) par translation : $$\begin{cases} H\times G\to G\\ (h,g)\mapsto hg\end{cases}$$
Ou par conjugaison : $$\begin{cases} H\times G\to G\\ (h,g)\mapsto hgh^{-1}\end{cases}$$
Ces actions correspondent à des actions à gauche, mais il eiste les actions à droite correspondantes